十字相乘法经典练习题_十字相乘法
来源：互联网 2023-05-31 02:03:02
1、十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。要务必注意各项系数的符号。对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
(相关资料图)
2、十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。
3、十字相乘法的方法
4、
4、简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。对于形如ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1·a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1·c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数b，那么可以直接写成结果:ax²+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x²+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）。
5、
5、例：
6、a²x²+ax-42
7、首先，我们看看第一个数，是a²，代表是两个a相乘得到的，则推断出(a×+？）×(a×+？），
8、然后我们再看第二项，+a这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出是两项式×两项式。
9、再看最后一项是-42，-42是-6×7或者6×-7也可以分解成-21×2或者21×-2。
10、首先，21和2无论正负，通过任意加减后都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除后者。
11、然后，再确定是-7×6还是7×-6。
12、(a×-7）×(a×+6）=a²x²-ax-42(计算过程省略）。
13、得到结果与原来结果不相符，原式+a变成了-a。
14、再算：
15、(a×+7）×（a×+（-6））=a²x²+ax-42
16、正确，所以a²x²+ax-42就被分解成为（ax+7）×(ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式。
17、把2x²-7x+3分解因式。
18、分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分
19、别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
20、分解二次项系数(只取正因数因为取负因数的结果与正因数结果相同！）。
21、2=1×2=2×1；
22、分解常数项：
23、3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
24、用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
25、13
26、╳
27、21
28、1×1+2×3=7≠-7
29、11
30、╳
31、23
32、1×3+2×1=5≠-7
33、1-1
34、╳
35、2-3
36、1×(-3)+2×(-1)=-5≠-7
37、1-3
38、╳
39、2-1
40、1×(-1)+2×(-3)=-7
41、经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7。
42、解2x²-7x+3=(x-3)(2x-1)
43、通常地，对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：
44、a1c1
45、╳
46、a2c2
47、a1c2+a2c1
48、按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax²+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即
49、ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)。
50、像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
51、例2
52、把5x²+6xy-8y²分解因式.
53、分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y²看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即
54、12
55、╳
56、5-4
57、1×(-4)+5×2=6
58、解5x²+6xy-8y²=(x+2y)(5x-4y).
59、指出：原式分解为两个关于x，y的一次式。
60、把(x-y)(2x-2y-3）-2分解因式.
61、分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式十字相乘法，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。
62、问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
63、答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了。
64、解(x-y)(2x-2y-3)-2
65、=(x-y)[2(x-y)-3]-2
66、=2(x-y)²-3(x-y)-2
67、1-2
68、╳
69、21
70、1×1+2×(-2）=－3
71、=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
72、=(x-y-2)(2x-2y+1).
73、指出：将元x、y换成（x+y），以（x+y）为元，这就是“换元法”。
74、重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式。
75、难点：灵活运用十字相乘法分解因式。
76、一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设总量为S，A所占的数量为M，B为S-M。
77、则：[A*M+B*(S－M）]/S=C
78、A*M/S+B*(S-M)/S=C
79、M/S=(C-B)/(A-B)
80、1-M/S=(A-C)/(A-B)
81、因此：M/S∶(1-M/S）=(C-B）∶(A-C)
82、上面的计算过程可以抽象为：
83、A^C-B
84、^C
85、B^A-C
86、这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C(每个A给B的值）变小，C-B(每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰。
87、第一点：用来解决两者之间的比例问题。
88、第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。
89、第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。
90、对于形如ax²+bx+c的多项式，在判定它能否使用十字相乘法分解因式时，可以使用Δ=b²-4ac进行判定。当Δ为完全平方数时，可以在整数范围该对多项式进行十字相乘。
91、双十字相乘法是一种因式分解方法。对于型如Ax²;+Bxy+Cy²;+Dx+Ey+F的多项式的因式分解，常采用的方法是待定系数法。这种方法运算过程较繁。对于这问题，若采用“双十字相乘法”(主元法），就能很容易将此类型的多项式分解因式。
92、例：3x²;+5xy－2y²;+x+9y－4=(x+2y－1）(3x－y+4）
93、因为3=1×3，－2=2×(－1），－4=(－1）×4，
94、而1×(－1）+3×2=5，2×4+(－1）(－1）=9，1×4+3×(－1）=1
95、要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
96、例：ab+b²+a－b－2
97、=0×1×a²+ab+b²+a－b－2
98、=(0×a+b+1）(a+b－2）
99、=(b+1）(a+b－2）
100、提示：设x²=y，用拆项法把cx²拆成mx²与ny之和。
101、例：2x^4+13x^3+20x²+11x+2
102、=2y²+13xy+15x²+5y+11x+2
103、=(2y+3x+1）(y+5x+2）
104、=(2x²+3x+1）(x²+5x+2）
105、=(x+1）(2x+1）(x²+5x+2）
106、分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f），我们也可以用十字相乘法分解因式。
107、例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
108、2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3），
109、可以看作是关于x的二次三项式．
110、对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
111、即
112、-22y²+35y-3=(2y-3）(-11y+1）．
113、再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
114、所以
115、原式=〔x+(2y-3）〕〔2x+(-11y+1）〕
116、=(x+2y-3）(2x-11y+1）．
117、(x+2y）(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；
118、(x-3）(2x+1）=2x2-5x-3；
119、(2y-3）(-11y+1）=-22y²+35y-3．
120、这就是所谓的双十字相乘法．也是俗称的“主元法”
121、用双十字相乘法对多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：
122、⑴用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²，得到一个十字相乘图(有两列）；
123、⑵把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一列、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
124、我们把形如anx^n+a(n-1）x^(n-1）+…+a1x+a0(n为非负整数）的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x），g(x），…等记号表示，如
125、f(x)=x²-3x+2，g(x)=x^5+x²+6，…，
126、当x=a时，多项式f(x）的值用f(a）表示．如对上面的多项式f(x)
127、f⑴=12-3×1+2=0；
128、f(-2）=(-2）²-3×(-2）+2=12．
129、若f(a)=0，则称a为多项式f(x）的一个根．
130、定理1(因式定理）若a是一元多项式f(x）的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x）至少有一个因式x-a．
131、根据因式定理，找出一元多项式f(x）的一次因式的关键是求多项式f(x）的根．对于任意多项式f(x），要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x）的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根。
132、怎样进行分解因式
133、例7x+(-8x)=-x
134、解：原式=（x+7）（x-8）
135、例2
136、-2x+（-8x）=-10x
137、解：原式=（x-2）（x-8）
138、例3、
139、分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进行因式分解。
140、因为
141、9y+10y=19y
142、解：原式=（2y+3）（3y+5）
143、例4、因式分解。
144、分析：因为
145、21x+(-18x)=3x
146、解：原式=（2x+3）（7x-9）
147、例5、因式分解。
148、分析：该题可以将（x+2）看作一个整体来进行因式分解。
149、因为
150、-25（x+2）+[-4(x+2)]=-29（x+2）
151、解：原式=[2（x+2）-5][5（x+2）-2]
152、=（2x-1）（5x+8）
153、例6、因式分解。
154、分析：该题可以先将（）看作一个整体进行十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。
155、因为
156、-2+[-12]=-14a+(-2a)=-a3a+（-4a）=-a
157、解：原式=[-2][-12]
158、=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)
本文到此结束，希望对大家有所帮助。
